无粘通量-通量重构格式 MUSCL

无粘通量格式 MUSCL 基本思想、推导过程、基本形式等

Reconstruction

求解网格单元通量需要基于单元表面两侧物理量值计算通量差值，而通过已知离散点估计物理量空间分布的过程，称为重构 (Reconstruction)

• 有限差分：通过网格节点上的值估计半点值
• 有限体积（单元中心格式）：通过控制体质点值估计控制体表面值
• 有限元：通过单元函数估计单元表面值

最简单的通量重构方式：

• 有限差分：半点值与网格节点值一致
• 有限体积：控制体内物理量均匀分布，内表面物理量值等于体积分平均值

一阶精度重构

$$\begin{equation} q_{i+1/2}^L = q_i, \quad q_{i+1/2}^R = q_{i+1} \end{equation}$$

MUSCL

monotone upstream-centered schemes for conservation laws 直译为 守恒定律的单调上游中心格式

MUSCL 二阶精度重构格式

$$\begin{gather} q_{i + 1/2}^L = q_i + \frac{1}{4} \begin{bmatrix} (1 - \kappa) \Delta_{-} + (1 + \kappa) \Delta_{+} \end{bmatrix}_{i}, \\ q_{i + 1/2}^R = q_{i+1} - \frac{1}{4} \begin{bmatrix} (1 - \kappa) \Delta_{+} + (1 + \kappa) \Delta_{-} \end{bmatrix}_{i+1} \end{gather}$$

式中 $\Delta$ 为变量梯度

$$\begin{gather} (\Delta_{+})_{i} = q_{i + 1} - q_{i}, \quad (\Delta_{-})_{i} = q_{i} - q_{i-1} \end{gather}$$

展开上式可以得到

$$\begin{align*} q_{i + 1/2}^L &= \begin{bmatrix} \displaystyle { \frac{\kappa - 1}{4}, 1 - \frac{\kappa}{2}, \frac{\kappa + 1}{4} } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_{i - 1} \\ q_i \\ q_{i + 1} \end{bmatrix} \\ q_{i + 1/2}^R &= \begin{bmatrix} \displaystyle { \frac{\kappa + 1}{4}, 1 - \frac{\kappa}{2}, \frac{\kappa - 1}{4} } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_{i} \\ q_{i + 1} \\ q_{i + 2} \end{bmatrix} \\ \end{align*}$$

• $\kappa = -1$ 为二阶迎风差分格式
• $\kappa = 1$ 为中心差分格式（需引入人工粘性）
• $\kappa = 1/3$ 为迎风偏置格式（1D为三阶，2D/3D为二阶）

表中 $[*, *, *, *]$ 表示 $[i-1, i, i+1, i+2]$ 节点权重

$\kappa$	$q_{i + 1/2}^L$	$q_{i + 1/2}^R$
$-1$	$[-1, 3, 0, 0] : 2$	$[0, 0, 3, -1] : 2$
$0$	$[-1, 4, 1, 0] : 4$	$[0, 1, 4, -1] : 4$
$1$	$[0, 1, 1, 0] : 2$	$[0, 1, 1, 0] : 2$
$1/3$	$[-1, 5, 2, 0] : 6$	$[0, 2, 5, -1] : 6$

Limiter

MUSCL 方法在流场光滑区结果较好，对高马赫数激波区，会由于重构值过大或过小引起上冲或下冲，为减小由此引起的振荡，需引入限制器限制重构梯度

$$\begin{gather} q_{i + 1/2}^L = q_i + \frac{1}{4} \begin{bmatrix} (1 - \kappa) \bar{\Delta}_{-} + (1 + \kappa) \bar{\Delta}_{+} \end{bmatrix}_{i}, \\ q_{i + 1/2}^R = q_{i+1} - \frac{1}{4} \begin{bmatrix} (1 - \kappa) \bar{\Delta}_{+} + (1 + \kappa) \bar{\Delta}_{-} \end{bmatrix}_{i+1} \end{gather}$$

限制器的对称性会影响求解结果

Limiter	$\kappa$	Symmetry
minmod
Van Albada		$\checkmark$
Van Leer		$\checkmark$
Hemker & Koren
Venkatakrishnan
Nishikawa
Barth

minmod

$$\begin{equation} \bar{\Delta}_{-} = \text{minmod}(\Delta_{-}, b\Delta_{+}), \quad \bar{\Delta}_{+} = \text{minmod}(\Delta_{+}, b\Delta_{-}) \end{equation}$$

式中

$$\begin{equation} 1 \leq b \leq \frac{3 - \kappa}{1 - \kappa} \end{equation}$$

$\kappa$	$\min$	$\max$
-1	1	2
0	1	3
1/3	1	4
1	1	$\infty$

$$\begin{equation*} \frac{1}{2} \cdot \left( 1 + \frac{3 - \kappa}{1 - \kappa} \right) = 1 + \frac{1}{1 - \kappa} \end{equation*}$$

minmod 限制器包含两个方面

1. 抑制振荡 $\text{sign}(x) + \text{sign}(y) = 0 \quad \text{if} \quad x y < 0$
2. 限制梯度 $min(|x|, |y|)$

$$\begin{equation} \text{minmod}(x, y) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} \text{sign}(x) + \text{sign}(y) \end{bmatrix} \min(|x|, |y|) \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text{sign} (x) = \begin{cases} 1 \quad & x \ge 0 \\ -1 \quad & x < 0 \end{cases} \end{equation}$$

Van Leer

$\kappa = -1$ 时限制器形式为

$$\begin{gather} \bar{\Delta_-} = \bar{\Delta_+} = \text{vanLeer} (\Delta_-, \Delta_+) \\ \text{vanLeer}(x, y) = \frac{\begin{bmatrix} \text{sign}(x) + \text{sign}(y) \end{bmatrix} xy}{|x| + |y| + \varepsilon} \end{gather}$$

其中 $\varepsilon$ 是一个小量，可取 $10^{-6}$

Van Albada

$\kappa = -1$ 时限制器形式为

$$\begin{gather} \bar{\Delta_-} = \bar{\Delta_+} = \text{vanAlbada} (\Delta_-, \Delta_+) \\ \text{vanAlbada} (x, y) = \frac{ x (y^2 + \varepsilon) + y (x^2 + \varepsilon) }{ x^2 + y^2 + 2 \varepsilon } \end{gather}$$