无粘通量-通量分裂格式 AUSM

通量分裂混合格式 AUSM 基本思想、推导过程、基本形式等

Introduction

AUSM (Advection Upstream Splitting Method) 1993 年由 M-S Liou 提出

• AUSM 在构造上是 VanLeer 格式的改进，从耗散项分析是 FVS 与 FDS 的复合格式
• 兼有 Roe 格式的间断高分辨率和 Van Leer 格式的计算效率
• 克服了 Roe 格式的 Carbuncle 现象，无需熵修正
• 具备标量的正值保持性，压力单独处，易推广到高温气体
• 在数值实验中对强激波表现出高分辨率，同时能对边界层获取准确的结果
• 原始的 AUSM 方法在激波以及流动与网格对齐时会产生局部压力振荡

AUSM 类格式包含两个研究分支

• 修改马赫数分裂函数和压力项分裂函数，包括 AUSMD/V、AUSM+ 等
• 引入压力权函数修正，包括 AUSMPW、AUSMPW+ 等

AUSM

AUSM 方法的基本思想是观察到无粘通量包含对流和压力两个物理部分，守恒通量 (标量) 以速度 $V$ 对流，压力项由声波速度控制

$$\begin{equation} \bold{F}_c = V \begin{bmatrix} \rho \\ \rho u \\ \rho v \\ \rho w \\ \rho H \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ p n_x \\ p n_y \\ p n_z \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{equation}$$

对流项基于 $V$ 的符号采用迎风方法进行离散，压力项依据超声速和亚声速流动情况分别进行处理

$$\begin{equation} (\bold{F_c})_{I+1/2} = (M_n)_{I+1/2} \begin{bmatrix} \rho c \\ \rho c u \\ \rho c v \\ \rho c w \\ \rho c H \\ \end{bmatrix}_{L/R} + \begin{bmatrix} 0 \\ p n_x \\ p n_y \\ p n_z \\ 0 \\ \end{bmatrix}_{I/1/2} \end{equation}$$

网格单元面当地马赫数 $M_n$ 大于 0 时，守恒量向右对流即特征波向右传播，通过上游即左侧状态计算通量，反之亦然；如果流场中存在激波等大梯度结构，采用 MUSCL 重构的原始变量需要添加限制器

$$\begin{equation} (\bullet)_{L/R} = \begin{cases} (\bullet)_L \quad & \text{if } M_{I+1/2} \ge 0 \\ (\bullet)_R \quad & \text{if } M_{I+1/2} < 0 \\ \end{cases} \end{equation}$$

与 VanLeer 处理方法类似，对流马赫数通过左侧和右侧分裂马赫数计算

$$(M_n)_{I+1/2} = M_L^+ + M_R^-$$

压力项亦采用左侧和右侧分裂压力计算

$$\begin{equation} p_{I+1/2} = p_L^+ + p_R^- \end{equation}$$

AUSM 格式分裂函数连续可微

$$\begin{gather} M_{j}^\pm = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2} (M_{j} \pm |M_{j}|) & \text{if } |M_{j}| > 1 \\ \\ \pm \displaystyle \frac{1}{4} (M_{j} \pm 1)^2 & \text{otherwise} \end{cases} \\ \end{gather}$$

$$\begin{gather} p_{j}^\pm = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2} p_{j} (1 \pm sign(M_{j})) & \text{if } |M_{j}| \ge 1 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{4} p_{j} (M_{j} \pm 1)^2 (2 \mp M_j) & \text{otherwise} \end{cases} \\ \end{gather}$$

AUSM 格式还可以写作以下形式

$$\begin{gather} \bold{F}_{I+1/2} = \frac{1}{2} c \begin{bmatrix} (M_n)_{I+1/2} (Q_L + Q_R) - |(M_n)_{I_1/2}| (Q_R - Q_L) \end{bmatrix} + (p \bold{n})_{I+1/2} \end{gather}$$

式中右侧对流项包含两部分，第一部分是左侧右侧状态对马赫数的加权平均，第二部分为通过 $|(M_n)_{I+1/2}|$ 缩放的耗散特征；当对流马赫数 $(M_n)_{I+1/2}$ 趋向于 0 时，耗散项马赫数 $|(M_n)_{I+1/2}|$ 也会取向于 0，扰动无法由此衰减，因此为解决流动对齐问题，需要对耗散项进行修正

$$\begin{equation} |(M_n)_{I+1/2}| = \begin{cases} |(M_n)_{I+1/2}| & \text{if } |(M_n)_{I+1/2}| > \delta \\ \displaystyle\frac{(M_n)_{I+1/2}^2 + \delta^2}{2\delta} & \text{if } |(M_n)_{I+1/2}| \le \delta \\ \end{cases} \end{equation}$$

式中 $0 < \delta \le 0.5$，为了维持边界层中格式的精确度，$\delta$ 需要沿着壁面法向降低，其处理方法与中心格式人工耗散一致

AUSM+

AUSM+ 格式修改了马赫数和压力分裂函数，在激波附近表现更好的性能

• 马赫数分裂函数

$$\begin{gather} M_{j}^\pm = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2} (M_{j} \pm |M_{j}|) & \text{if } |M_{j}| \ge 1 \\ \\ \mathcal{M}_\beta^\pm(M_j) & \text{otherwise} \end{cases} \\ \end{gather}$$

$$\begin{equation} \begin{align*} \mathcal{M}_\beta^\pm(M) = \pm \frac{1}{4} (M \pm 1)^2 \pm \beta (M^2 - 1)^2 & \\ \text{where } -1/16 \le \beta \le 1/2 \end{align*} \end{equation}$$

• 压力分裂函数

$$\begin{gather} p_{j}^\pm = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2} p_{j} (1 \pm sign(M_{j})) & \text{if } |M_{j}| \ge 1 \\ \\ \displaystyle p_{j} \mathcal{P}_\alpha^\pm(M_j) & \text{otherwise} \end{cases} \\ \end{gather}$$

$$\begin{equation} \begin{align*} \mathcal{P}_\alpha^\pm (M) = \frac{1}{4} (M \pm 1)^2(2 \mp M) \pm \alpha M (M^2 - 1)^2 & \\ \text{where} -3/4 \le \alpha \le 3/16 \end{align*} \end{equation}$$

Criteria

$$\begin{equation} \frac{d^2 \mathcal{M}_\beta^\pm (0)}{dM^2} = 0, \frac{d^2 \mathcal{P}_\alpha^\pm (\pm 1)}{dM^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \beta = \frac{1}{8}, \alpha = \frac{3}{16} \end{equation}$$